逻辑电路基础

概述

逻辑、二值逻辑、逻辑运算、逻辑代数

  1. 逻辑：事物间的因果关系
  2. 二值逻辑：只有两种逻辑关系称为二值逻辑
  3. 逻辑运算：逻辑状态按照某种指定的因果关系进行推理运算
  4. 逻辑代数：按照一定逻辑工具进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具

与普通代数的区别

普通代数可以取任何值，并运用加减乘除进行运算。

但是逻辑运算仅可取0和1，并且采用与、或、非进行运算。

与、或、非

与：Y=A·B

或：Y=A+B

非：Y=A’

复合逻辑运算

与非，或非、

与或非：(AB+CD)’

异或：A’B+AB’

同或：AB+A’B’

基本公式

公式 公式
1 0·A=0 常量与变量的关系 11 1+A=1
2 1·A=A 常量与变量的关系 12 0+A=A
3 A·A=A 重叠律 13 A+A=A
4 A·A=0 互补律 14 A+A’=1
5 A·B=B·A 交换律 15 A+B=B+A
6 A·(B·C)=(A·B)·C 结合律 16 A+(B+C)=(A+B)+C
7 A·(B+C)=A·B+A·C 分配律 17 A+B·C=(A+B)·(A+C)
8 (A·B)‘=A’+B’ 摩根定理 18 (A+B)‘=A’·B’
9 (A’)'=A 还原律
10 1’=0; 0’=1

常用公式

A+AB=A

A+A’B=A+B…②

AB+AB’=A

A(A+B)=A

AB+A’C+BC=AB+A’C #若两个乘积项的因子刚好互补，那么他们剩余因子构成的乘积是多余的。

关于②的推导，在*(A+B)的这边乘上一个(A+A’)*进行化简，有

(A+B)·(A+A’)=A·A+A·A’+BA+BA’=A+AB

逻辑代数的基本定理

代入规则——主要应用于公式的推广

在任何一个包含相同变量的逻辑等式中，如果以另外一个函数代入式中所有该变量的位置，则等式仍成立。类似于换元法，往往应用于定义的推广。

例如：摩根定理的推广

(A+B)‘=A’·B’ --> (A+B+C)‘=A’·(B+C)‘=A’B’C’

反演规则——主要用于求函数的反函数

  1. 把01互换，·+互换，原变量和反变量互换
  2. 先括号，然后乘，最后加
  3. 不是单个引号上的反号要保留

例如：Y=A·(B+C’)'+A’D

​ Y’=(A’+(B’·C’))·(A+D’)

对偶规则——主要用于公式的推广

即将01互换，·+互换。

若两逻辑式相等，则他们对偶式相等。

逻辑函数的表示方法

  1. 真值表
  2. 逻辑代数式
  3. 逻辑图
  4. 波形图

各种表示方法的相互转化

从真值表写逻辑函数式

  • 找出真值表中使函数为1的那些输入变量取值的总和
  • 每组取值组合对应一个乘积项，取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量
  • 将这些乘积项相加得到目标函数
  • 如果取值为1的情况过多，可以先求逻辑表达式的反函数，然后将取0的情况按照上述规则写出，最后由反演定理求出原函数。

逻辑式列真值表

将所有变量的取值组合写出然后代入计算即可

逻辑式画逻辑图

略，好扯淡……

逻辑图写逻辑函数式

这个也略……感觉不是很重要……

逻辑函数式画波形图

对于给定的函数式，我们要遍历给出的所有变量组合，也就是要给出2n种情况（n为变量个数）。然后在最底部给出由函数式计算的结果并画图。

由波形图写逻辑函数式

由波形图可以得到所有变量的组合和运算值，将结果列出得到真值表，后续步骤参考真值表转化为逻辑函数式操作。

逻辑函数的标准形式

最小项和最大项

最小项的定义

在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而这n个变量在乘积项中均以原变量或者反变量的形式出现且仅出现一次，那么m称作该组变量的最小项

如给定变量A、B、C，乘积项*ABC’*是一个最小项

比如F(A,B)=AB+A’B+AB’+A’B’=m3+m1+m2+m0=∑mi(i=0~3)

最小项的编号表示方法

将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，得到的二进制数转为十进制后对应的编码即为该最小项的编号。

最小项的起始编码为0，取值范围为0~2n-1。记作mi。

最大项的定义

在n变量逻辑函数中，若M为包含n个因子的和项，而这n个变量在和项中均以原变量或者反变量的形式出现且仅出现一次，那么M称作该组变量的最大项

最大项的编号表示方法

编号方法与最小值相同，记为Mi。

最小项和最大项的性质

相邻性：若两个最小项/最大项只有一个因子不同，则称他们具有相邻性。

对于最小项，相邻的两个最小项相加可以合并成一项，并消去差异因子。

对于最大项，相邻的两个最大项相乘可以合并成一项，并消去差异因子。

逻辑函数的“最小项之和”形式/标准与或式

全部由最小项构成的“积之和”表达式，称为最小项表达式。

任何逻辑函数都能化成一个唯一的标准与或式。

逻辑函数的“最大项之和”形式/标准或与式

全部由最大项构成的“和之积”表达式，称为最大项表达式。

任何逻辑函数都能化成一个唯一的标准或与式。

标准或与式和标准与或式的关系

Mi=mi’。

由此可知，如果函数式可以由最小项之和表示，那么它一定也能由最大项之积来表示，它们两者是等价的。

逻辑函数的化简方法

通过反复使用逻辑函数的运算公式来化简。

关于化最简的标准，其实要根据实际应用中提供的逻辑器件来决定。以使用电子器件数目最少，成本最低为判断最简的标准。默认最简形式为与或式，即只用与门和或门来实现电路。

最简与或式要求式子中与项数目最少，且乘积项中包含的变量数目最少。

常用的公式化简方法

卡诺图化简法

卡诺图的思想源于两个相邻的最小项可以化简。

认识卡诺图

将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并且使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起来，所得到的图形叫做n变量卡诺图

怎么用卡诺图表示逻辑函数

注意循环码，即变量之间的排序两两之间只有一位发生了变化，而不是递增排序。

卡诺图一般画成正方形或矩形。

在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项，在逻辑上都是相邻的。

相接：紧挨着；相对：任意一行或一列的两头；相重：对折之后位置相重

逻辑函数写卡诺图

  • 首先把画出一个正方形或矩形表格，n变量的卡诺图有2n个小方格。
  • 然后把变量分为两组，如AB/CD。
  • 按循环码循环给变量取值排序。比如00、01、11、10。
  • 随后根据逻辑函数填表，若逻辑函数不是标准与或式则化为标准与或式。在逻辑函数包含的最小项在卡诺图对应的方格填1，其余填0（一般省略0）
  • 在卡诺图中几何相邻的最小项可以合并为一项并消去相异因子，从而达到化简的目的。
  • 注意，上述几何相邻的意义为相邻、对折相邻、上下角相邻，左右角相邻。
  • 将所有相邻的1圈起来，圈越大越好；一个方格可以被多个圈入，但必须要有新的1在圈内，否则该圈为多余。
  • 当0比较多的时候，也可以选择将所有0圈起来写出Y’，再取反得到答案。

小结

这节内容主要介绍了一些逻辑运算的方法，以及一些运算规则和化简方法。

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